3.1 CONCEPTOS BASICOS DE PROBLEMAS DE PROG. LINEAL



3.1 CONCEPTOS BÁSICOS

La Programación no Lineal (PNL) es una parte de la Investigación Operativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales.


Evidentemente, la estructura del problema puede ser muy variada, según las funciones que en él intervengan (a diferencia de la Programación Lineal (PL) donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la función objetivo permiten obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientos algorítmicos de los problemas).

Ello ocasiona una mayor dificultad en la obtención de resultados, que se refleja también en la dificultad de la obtención numérica de las soluciones. En este sentido, hay que distinguir entre las diversas caracterizaciones de óptimo, que sólo se emplean como técnicas de resolución en problemas sencillos, y los métodos numéricos iterativos, cuyo funcionamiento se basa en estas caracterizaciones, para la resolución de problemas más generales.

CONCEPTOS BÁSICOS

La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.
Función objetivo

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:

f(x,y) = ax + by.
Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤c2
… … …
anx + bny ≤cn


Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.
Solución factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.
Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).
Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Elegir las incógnitas.

2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).






Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

3.4.1 PUNTOS DE INFLEXION

Imagen
Se define un punto de inflexión como el punto en que la función pasa de ser convexa a cóncava o de cóncava a convexa. En la siguiente gráfica podemos ver que cuando x = 0, la gráfica pasa de ser cóncava a ser convexa, por lo que podemos decir que el punto de inflexión esta en X = 0. Una característica de los puntos de inflexión es que son los puntos donde la función derivada tiene máximos y mínimos. Si nos fijamos, cuando nos acercamos a un punto de inflexión la función cada vez crece más (o decrece menos), pero al sobrepasar el punto de inflexión la función empieza a crecer menos (o decrecer menos). Esto significa que justamente donde haya un punto de inflexión la derivada tendrá un máximo o un mínimo. Consecuentemente encontraremos los puntos de inflexión buscando ceros de la segunda derivada. Vamos a ilustrar el proceso con un ejemplo para así dar una explicación simple y clara: Consideraremos la función F(x) = x³ - 3x  (es la función representada
Leer más

3.2 ILUSTRACION GRAFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION NO LINEAL

Imagen
Cuando un problema de programación no lineal tiene sólo una o dos variables, se puede representar gráficamente de forma muy parecida al ejemplo de la Wyndor Glass Co. de programación lineal, de la sección 3.1. Se verán unos cuantos ejemplos, ya que una representación gráfica de este tipo proporciona una visión global de las propiedades de las soluciones ópti­mas de programación lineal y no lineal. Con el fin de hacer hincapié en las diferencias entre programación lineal y no lineal, se usarán algunas variaciones  no lineales  del problema de la Wyndor Glass Co. La figura 13.5 muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que se ha­cen al modelo de la sección 3.1 son que la segunda y tercera restricciones funcionales se susti­tuyen por la restricción no lineal  9x{ + 5x 2  < 216. Compare las figuras 13.5 y 3.3. La solu­ción óptima sigue siendo ( a ^ ,  x 2 ) = (2,6). Todavía se encuentra sobre la frontera de la región factible, pero  no  es una solución facti
Leer más

3.4.2 MAXIMOS Y MINIMOS

Imagen
Costo Mínimo Es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución, arrojando mejores resultados que métodos como el de la esquina noroeste , dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos.   El diagrama de flujo de este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores dado que se trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método. Procedimiento: 1.- Se busca la celda con menor costo y después se ajusta la oferta y la demanda afectada. 2.- Se revisa si la demanda fue satisfecha. De ser así se elimina esa columna. 3.- Si hay más de un renglón o columna se repite el paso 1. Ejemplo: Resuelve la tabla por el método de costo mínimo: EJEMPLO ( MÉTODO DE COSTO MÍNIMO )
Leer más