3.2 ILUSTRACION GRAFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION NO LINEAL

Cuando un problema de programación no lineal tiene sólo una o dos variables, se puede representar gráficamente de forma muy parecida al ejemplo de la Wyndor Glass Co. de programación lineal, de la sección 3.1. Se verán unos cuantos ejemplos, ya que una representación gráfica de este tipo proporciona una visión global de las propiedades de las soluciones ópti­mas de programación lineal y no lineal. Con el fin de hacer hincapié en las diferencias entre programación lineal y no lineal, se usarán algunas variaciones no lineales del problema de la Wyndor Glass Co.

La figura 13.5 muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que se ha­cen al modelo de la sección 3.1 son que la segunda y tercera restricciones funcionales se susti­tuyen por la restricción no lineal 9x{ + 5x₂ < 216. Compare las figuras 13.5 y 3.3. La solu­ción óptima sigue siendo (a^ , x₂) = (2,6). Todavía se encuentra sobre la frontera de la región factible, pero no es una solución factible en un vértice (FEV). La solución óptima pudo haber sido una solución FEV con una función objetivo diferente (verifique Z = 3x_x + x₂), pero que no necesite serlo significa que ya no se puede aprovechar la gran simplificación utilizada en programación lineal que permite limitar la búsqueda de una solución óptima para las solu­ciones FEV

Ahora suponga que las restricciones lineales de la sección 3.1 se conservan sin cambio, pero que la función objetivo se hace no lineal. Por ejemplo, si

entonces la representación gráfica en la figura 13.6 indica que la solución óptima es x_x – x₂ = 5, que de nuevo se encuentra en la frontera de la región factible. (El valor óptimo de Z es Z = 857; así, la figura 13.6 muestra el hecho de que el lugar geométrico de todos los puntos para los que Z = 857 tiene en común con la región factible sólo este punto, mientras que el lu­gar geométrico de los puntos con Z más grande no toca la región factible en ningún punto.) Por otro lado, si

 

entonces la figura 13.7 ilustra que la solución óptima es (*_l5 x₂ ) = (3,3), que se encuentra dentro de la frontera de la región factible. (Se puede comprobar que esta solución es óptima si se usa cálculo para derivarla como un máximo global no restringido; como también satisface las restricciones, debe ser óptima para el problema restringido.) Por lo tanto, es necesario que

 

un algoritmo general para resolver problemas de este tipo tome en cuenta todas las soluciones en la región factible, y no sólo aquellas que están sobre la frontera.

  

Otra complicación que surge en programación no lineal es que un máximo local no nece­sariamente es un máximogbbal (la solución óptima global). Por ejemplo, considere la fun­ción de una sola variable graficada en la figura 13.8. En el intervalo 0 < x < 5, esta función tiene tres máximos locales — x=0,x=2,x=4—pero sólo uno de éstos—x – 4—es un má­ximo global. (De igual manera, existen mínimos locales en x = 1,3 y 5, pero sólo x = 5 es un mí­nimo global.)

En general, los algoritmos de programación no lineal no pueden distinguir entre un má­ximo local y un máximo global (excepto si encuentran otro máximo local mejor), por lo que es determinante conocer las condiciones bajo las que se garantiza que un máximo local es un máximo global en la región factible. Recuerde que en cálculo, cuando se maximiza una fun­ción ordinaria (doblemente diferenciable) de una sola variable f(x) sin restricciones, esta ga­rantía está dada cuando

Una función de este tipo cuya curvatura siempre es “hacia abajo” (o que no tiene curvatura) se llama función cóncava.¹ De igual manera, si se sustituye < por >, de manera que la función tiene siempre una curvatura “hacia arriba” (o no tiene curvatura), se llama función convexa.² (Así, una función lineal es tanto cóncava como convexa.) En la figura 13.9 se pueden ver ejemplos de esto. Note que la figura 13.8 ilustra una función que no es cóncava, ni convexa pues alterna sus curvaturas hacia arriba y hacia abajo.

Las funciones de variables múltiples también se pueden caracterizar como cóncavas o convexas si su curvatura es siempre hacia abajo o hacia arriba. Estas definiciones intuitivas se fundamentan en términos precisos que, junto con cierta profundización en los conceptos, se presentan en el apéndice 2. El apéndice 2 proporciona una prueba conveniente para verifi­car si una función de dos variables es cóncava, convexa o ninguna de las dos.

La siguiente es una forma conveniente de verificar esto para una función de más de dos variables cuando la función consiste en una suma de funciones más pequeñas cada una de sólo

 

VÍDEO ( ILUSTRACION GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL )